Racine carrée

Algorithme d'Héron

La racine carrée d'un nombre positif A est la solution de l'équation x² = A.

Aujourd'hui tout le monde utilise la calculatrice pour déterminer la racine carrée d'un nombre. On tape simplemement le nombre, par exemple 7453, puis le symbole , et sans tarder l'appareil donne le résultat 86,330759292. Dans le temps on utilisait divers procédés pratiques ou même les tables numériques. Pour un nombre comme celui de l'exemple, c'était déjà un petit exploit que de trouver le nombre à 0,001 près. Avec la règle de calcul la précision laissait encore plus à désirer. Par contre, sous les contraintes des moyens limités, l'esprit mathématique souffrait moins qu'aujourd'hui. Les étudiants devaient connaître leurs règles, bien savoir les appliquer et, ce qui est plus important, ils devaient comprendre ce qu'ils exerçaient. Parfois il fallait de l'astuce pour arriver au bon résultat, comme dans nos casse-tête.

Peut-être un élève intéressé désire-t-il connaître un des procédés de calcul qu'utilisent les calculatrices.

Le mathématicien grec Héron d'Alexandrie élabora l'algorithme suivant:

déterminer une valeur approchée de la racine carrée: x₀
calculer au 10^-i -ème près le quotient: q₀ = A / x₀
avec la même précision faire la moyenne de ces deux nombres qui devient le nombre de départ pour le deuxième calcul : x₁ = ( x₀ + q₀ ) / 2
répéter la procédure jusqu'à ce que la valeur absolue de la différence ( x_k- q_k) soit inférieure à la précision p

Notre exemple donne:

x₀= 90	q₀= 7453 / 90 = 82,810
x₁= (90+82,810)/2 = 86,405	q₁= 7453 / 86,405 = 86,256
x₂= (86,405+86,256)/2 = 86,330	q₂= 7453 / 86,330 = 86,331
==> abs ( x₂- q₂) < p

Pour les amateurs de la robotique RCX, voici une procédure en code RCX. A remarquer que le module calcule uniquement avec des nombres entiers compris dans l'intervalle [-32768,32767]. En plus, il n'est pas équipé d'une procédure de calcul de la racine carrée:

{constants}
    #define(P,2)
{variables}
    #define(A,0)
    #define(x,1)
    #define(q,2)
    #define(local_h,3)
{subroutines}
    #define(SQRT,1)
{===================}
beginoftask(Main)
setvar(A,con,7453) {exemple}
gosub(SQRT)
endoftask()
{===================}
BeginOfSub(SQRT)
    setvar(x,var,A)      {première valeur approchée x := A/2}
    divvar(x,con,2)
    setvar(local_h,con,10000) {initialisation}
    while(var,local_h,GT,con,P) {faire l'itération d'Héron jusqu'à ce que local_h <= P}
       setvar(q,var,A) {q = A/x}
       Divvar(q,var,x)

       setvar(local_h,var,q)   {local_h := abs(q-x)}
       subvar(local_h,var,x)
       absvar(local_h,var,local_h)

       sumvar(x,var,q)    {nouvelle valeur de x := (x+q)/2}
       divvar(x,con,2)
     endwhile()
       {le résultat 86 se trouve maintenant dans la variable x}
EndOfSub()